题目

在公差为d（d不等于零）的等差数列{An}中,若Sn是{An}的前n项和,则数列S20-S10,S30-S20,S40-S30也成等差数列,且公差为100d.在公比为q（q不等于1）的等比数列{Bn}中,若Tn是数列{Bn}的前n项之积,则有?

提问时间：2021-01-13

答案

这道题考查的是类比,
根据等差数列的形式可以推导T20/T10,T30/T20,T40/T30...为等比数列,其公比为100q.
证明方法:对于等比数列Bn=b1*q^(n-1) 设Cn=lnBn=lnb1+(n-1)lnq
故Cn为等差数列 设Cn前n项和也为Sn,
则Sn=lnB1+lnB2+..+lnBn
=ln(B1*B2*...*Bn)=lnTn
因为数列S20-S10,S30-S20,S40-S30也成等差数列,
即lnT20-lnT10,lnT30-lnT20,lnT40-lnT30,
即ln(T20/T10),ln(T30/T20),ln(T40/T30),是等差数列.
所以e^ln(T20/T10),e^ln(T30/T20),e^ln(T40/T30),是等比数列,
即T20/T10,T30/T20,T40/T30...为等比数列