题目

已知向量a=(cosα,sinα),向量b=（2cosβ,2sinβ）,a与b的夹角为π/3,则直线xcosα-ysinα+1/2=0与圆(x-cosβ)^2+(y+sinβ)^2=1/2的位置关系是：相离
求过程!

提问时间：2021-01-13

答案

向量a=(cosα,sinα),向量b=（2cosβ,2sinβ）,a与b的夹角为π/3
a.b=|a|*|b|*cos60=1*2/2=1
a.b=2cosαcosβ+2sinαsinβ=2cos(α-β)
所以cos(α-β)=1/2
圆(x-cosβ)^2+(y+sinβ)^2=1
圆心o为(cosβ,-sinβ)
圆半径R为1/2
那么圆心o到则直线xcosα-ysinα+1/2=0的距离为
d=|cosαcosβ+sinαsinβ+1/2|/根号（cosα^2+sinα^2)
=|cos(α-β)+1/2|
=1
>R
所以直线与圆相离!