题目

如图，线段AC、BD相交于点O，AB∥CD，AB=CD．线段AC上的两点E、F关于点O中心对称．求证：BF=DE．

提问时间：2021-01-13

答案

证明：如图，连接AD、BC，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，
∵点E、F关于点O中心对称，
∴OF=OE，
在△BOF和△DOE中，

BO＝DO ∠BOF＝∠DOE(对顶角相等) OF＝OE

，
∴△BOF≌△DOE（SAS），
∴BF=DE．

连接AD、BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分可得BO=DO，根据E、F关于点O中心对称可得OE=OF，然后利用“边角边”证明△BOF和△DOE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．

本题考点：中心对称；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．

考点点评：本题考查了中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，作辅助线构造出平行四边形，然后证明得到BO=DO是证明三角形全等的关键，也是解决本题的难点．