题目

已知函数f_M（x）的定义域为实数集R，满足fM(x)＝

1，x∈M 0，x∉M

（M是R的非空真子集），在R上有两个非空真子集A，B，且A∩B=∅，则F(x)＝

fA∪B(x)+1

fA(x)+fB(x)+1

的值域为（　　）
A. (0，

2

3

]
B. {1}
C. {

1

2

，

2

3

，1}
D. [

1

3

，1]

提问时间：2021-01-13

答案

当x∈C_R（A∪B）时，f_A∪B（x）=0，f_A（x）=0，f_B（x）=0，
∴F（x）=1
同理得：当x∈B时，F（x）=1；
当x∈A时，F（x）=1
故F（x）=

1，x∈A 1，x∈B 1，x∈CR(A∪B)

，即值域为{1}．
故选B

对F（x）中的x属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出f（x）的函数值，从而得到F（x）的值域即可．

本题考点：函数的值域；交集及其运算．

考点点评：本题主要考查了函数的值域、分段函数，解答关键是对于新定义的正确理解，属于创新型题目．