题目
如图,四面体ABCD中,E、G分别为BC、AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF:FC=2:3,DH:HA=2:3.求证:EF、GH、BD交于一点.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/e61190ef76c6a7ef379f0d95fefaaf51f2de66cc.jpg)
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提问时间:2021-01-13
答案
证明:连接GE、HF,
∵E、G分别为BC、AB的中点,
∴GE∥AC.
又∵DF:FC=2:3,DH:HA=2:3,
∴HF∥AC.∴GE∥HF.
故G、E、F、H四点共面.
又∵EF与GH不能平行,
∴EF与GH相交,设交点为O.
则O∈面ABD,O∈面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD.∴EF、GH、BD交于一点.
∵E、G分别为BC、AB的中点,
∴GE∥AC.
又∵DF:FC=2:3,DH:HA=2:3,
∴HF∥AC.∴GE∥HF.
故G、E、F、H四点共面.
又∵EF与GH不能平行,
∴EF与GH相交,设交点为O.
则O∈面ABD,O∈面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD.∴EF、GH、BD交于一点.
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