题目

自由粒子一维定态薛定谔方程形式是什么?

提问时间：2021-01-13

答案

▽2ψ(x,y,z)+(8π2m/h2)[E-U(x,y,z)]ψ(x,y,z)＝0
我来解释一下：
先看一下数学形式：
这是一个二阶线性偏微分方程,ψ(x,y,z)是待求函数,它是x,y,z三个变量的复数函数（就是说函数值不一定是实数,也可能是虚数）.式子最左边的倒三角是一个算符,意思是分别对ψ(x,y,z)的x,y,z坐标求偏导的平方和.
再看一下物理含义：
这是一个描述一个粒子在三维势场中的定态薛定谔方程.所谓势场,就是粒子在其中会有势能的场,比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态,就是假设波函数不随时间变化.其中,E是粒子本身的能量；U(x,y,z)是描述势场的函数,假设不随时间变化.薛定谔方程有一个很好的性质,就是时间和空间部分是相互分立的,求出定态波函数的空间部分后再乘上时间部分e^(-t*i*2π/h)以后就成了完整的波函数了（时间部分记得不太清楚了,指数上的系数不保证正确）.
最后看一下薛定谔方程的解——波函数的性质.1.虽然任意给定的E都可以解出一个函数解,但只有满足一定条件的分立的一些E值才能给出有物理意义的波函数；2.由于薛定谔方程是一个线性微分方程,所以任意几个解的线性组合还是薛定谔方程的解