题目

在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E，F在BC，CD边上，BE=4，DF=5，P是线段EF上一动点（不运动至点E，F），过点P作PM⊥AD于M，PN⊥AB于N，设PN=x，矩形PMAN面积为S

（1）求S关于x函数解析式和自变量的取值范围；
（2）当PM，PN长是关于t的方程3t²-kt+98=0两实根时，求EP：PF的值和k的值．

提问时间：2021-01-13

答案

（1）延长NP交CD于Q，
由题意可得出：QP∥EC，
∴△FQP∽△FCE，
∴

FQ

FC

=

QP

EC

，
∵PQ=6-x，EC=6-4=2，FC=8-5=3，
∴FQ=9-

3

2

x，
∴PM=DQ=5+9-

3

2

x=14-

3

2

x，
S关于x函数解析式为：
S=x（14-

3

2

x）=−

3

2

x2+14x(4＜x＜6)；
（2）由PM•PN=

98

3

=S，
则

98

3

=−

3

2

x2+14x，
即9x²-84x+196=0，
解得：x1＝x2＝

14

3

，
∴PN=x=

14

3

，PM=7，
而PM+PN=

k

3

，
∴k=35，
由PM=7，知FQ=2，CQ=1，
∴

PE

PF

＝

CQ

FQ

＝

1

2

．