题目

X1·X2·X3···X2010=1,且X1,X2,···X2010都是正数.（1+X1）（1+X2）····（1+X2010）的最小值

提问时间：2021-01-13

答案

考虑函数 f(x) = ln(1+e^x),容易验证,f'> 0,即 f是凸函数.
取 yi = lnxi,因为 f是凸函数.
ln(（1+X1）（1+X2）····（1+X2010）)
=f(y1) + f(y2)+ ...+f(y2010)
>= 2010*f((y1+y2+...+y2010)/2010)
=2010*f(ln(x1*x2*...*x2010)/2010)=2010*f(0)=ln(2^2010)
==>
（1+X1）（1+X2）····（1+X2010）>= 2^2010
等号在 x1=x2=...=x2010=1时成立.