题目

设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论g（x）与g(

1

x

)的大小关系；
（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）-g（x）＜

1

a

对任意x＞0成立．

提问时间：2021-01-12

答案

（Ⅰ）由题设知f（x）=lnx，g（x）=lnx+

1

x

，
∴g'（x）=

x-1

x2

，令g′（x）=0得x=1，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的单调减区间．
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的单调递增区间，
因此，x=1是g（x）的唯一值点，且为极小值点，
从而是最小值点，所以最小值为g（1）=1．
（II）g(

1

x

)=-Inx+x
设h(x)=g(x)-g(

1

x

)=2lnx-x+

1

x

，则h'（x）=-

(x-1)2

x2

，
当x=1时，h（1）=0，即g(x)=g(

1

x

)，
当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（1）＜0，
因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，
当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，即g(x)＞g(

1

x

)，
当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，即g(x)＜g(

1

x

)．
（III）由（I）知g（x）的最小值为1，
所以，g（a）-g（x）＜

1

a

，对任意x＞0，成立⇔g（a）-1＜

1

a

，
即Ina＜1，从而得0＜a＜e．

（I）求导，并判断导数的符号确定函数的单调区间和极值、最值，即可求得结果；
（Ⅱ）通过函数的导数，利用函数的单调性，半径两个函数的大小关系即可．
（Ⅲ）利用（Ⅰ）的结论，转化不等式，求解即可．

本题考点：A:利用导数研究函数的单调性 B:导数在最大值、最小值问题中的应用

考点点评：此题是个难题．主要考查导数等基础知识，考查推理论证能力和、运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，化归和转化思想，分类与整合思想．其考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．