题目

证明：若有单位元的非零交换环R为单环,则R一定是域

提问时间：2021-01-12

答案

反证法：设R不为域
那么存在a∈R,a不等于0,且a不可逆,于是aR不等于R
因为若aR=R,那么存在b∈R,使得ab=1,而且交换环可知ba=1,与a不可逆矛盾
所以aR不等于R
显然aR不等于0
那么aR是R的非平凡理想
因为用定义看,任意的r∈R,raR=arR包含于aR
所以aR是理想,且非平凡
那么这与R是单环矛盾
故R一定是域
这是充分必要条件,即
若有单位元的非零交换环R,R为单环与R为域等价