题目

设f(x)是数域F上的2008次多项式,证明2009√2不可能是f(x)的根.在这里f(x)有可
设f(x)是数域F上的2008次多项式,证明2009√2不可能是f(x)的根.
在这里f(x)有可能是有理数,无理数,复数域多项式啊,怎么能判断（x∧2009-2,f(X))=1?

提问时间：2021-01-12

答案

这样的写法容易引起误解,建议写成2^(1/2009).
另外,对于一般的数域F,这个结论是不成立的,
例如F = Q(2^(1/2009)),f(x) = x^2008-2^(1/2009)x^2007.
原题应该是要求f(x)是有理系数多项式.
易见2^(1/2009)为g(x) = x^2009-2的根.
而由Eisenstein判别法,可知g(x)在有理数域上不可约.
若f(2^(1/2009)) = 0,则f(x)与g(x)有公共根,(f(x),g(x)) ≠ 1.
但g(x)在有理数域上不可约,又(f(x),g(x))为有理系数多项式,
因此(f(x),g(x)) = g(x),即g(x)整除f(x),与deg(f) = 2008 < 2009 = deg(g)矛盾.