题目

函数及其导数问题 函数f(x)=-x^3+ax^2-4（a∈R）f′（x）是其导函数
函数f(x)=-x^3+ax^2-4（a∈R）
1、当a=2时,对任意的m∈[-1,1],n∈[-1,1],求f(m)+f'(n)的最小值
2、若存在x0∈（0,+∞）,是f（x0)>0,求a的取值范围

提问时间：2021-01-12

答案

（1）f(m)=-m³+2m²-4,f’(n)=-3n²+4n.
对f(m)求导得到f’(m)=-3m²+4m.当m∈[-1,0]时f’(m)0,因此f(m)在[0,1]上递增.这样可知当m=0时f(m)取最小值-4.
另一方面,f’(n)=-3n²+4n=-3(n-2/3)²+4/9,易知当n=-1时取最小值-7.
因此,当m=0；n=-1时,f(m)+f’(n)最小,最小值为-11.
（2）由于f(0)是定值-40即2a³-6a²+270时,2a³-6a²+27>0恒成立,因此,矛盾.
综上所述,a无解,即a∈Φ