题目

设f(X)连续且满足 f(x)=e^x+sinx- ∫ x 0 (x-t)f(t)dt,并求该函数f(x)
RT

提问时间：2021-01-12

答案

f(x)=e^x + sinx - ∫[0→x] (x-t)f(t) dt
=e^x + sinx - x∫[0→x] f(t) dt + ∫[0→x] tf(t) dt
求导得：
f '(x)=e^x+cosx-∫[0→x] f(t) dt-xf(x)+xf(x)
=e^x+cosx-∫[0→x] f(t) dt (1)
两边再求导得：
f ''(x)=e^x-sinx-f(x)
得微分方程：f ''(x)+f(x)=e^x-sinx
将x=0代入原方程得：f(0)=1
将x=0代入(1)得：f '(0)=2
下面求解初值问题：

f ''(x)+f(x)=e^x-sinx
f(0)=1
f '(0)=2

特征方程：λ²+1=0,解得λ=±i
齐次方程通解为：C1cosx+C2sinx
构造非齐次方程特解为：y*=ae^x+bx*cosx+cx*sinx
代入微分方程比较系数得特解为：y*=(1/2)e^x+(1/2)xcosx
非齐次方程通解为：f(x)=C1cosx+C2sinx+(1/2)e^x+(1/2)xcosx
将两个初始条件代入得：C1=1/2,C2=1

因此本题结果为：f(x)=(1/2)cosx+sinx+(1/2)e^x+(1/2)xcosx

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