题目

设函数f(x)=cosωx(√3sinωx+cosωx),其中0＜ω＜2
（1）若f(x)的周期为π,求当-π/6≤x≤π/3时f(x)值域
（2）若函数f(x)的图像一条对称轴为x=π/3,求ω的值
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【注】
1、打不出符号可在此复制：π φ ω √ ＜ ≤
2、化简时如果需要使用和（差）角公式、倍角公式、和差化积公式请额外将所用公式给出

提问时间：2021-01-12

答案

f(x)=cosωx(√3sinωx+cosωx）
=√3cosωxsinωx+cosωx*cosωx
=√3/2sin2ωx+(cos2ωx+1)/2 【sin2ωx=2sinωxcosωx,cos2ωx=2cosωx*cosωx-1】
=√3/2sin2ωx+1/2cos2ωx+1/2
=sin2ωxcos1/6π+cos2ωxsin1/6π+1/2 【cos1/6π=√3/2,sin1/6π=1/2】
=sin(2ωx+1/6π)+1/2 【sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）】
∵f(x)周期T=π,且T=2π/（2ω） 【正弦函数g(x)=sinwx,T=2π/w】
∴2π/（2ω）=π
∴ω=1
∴f(x)=sin(2x+1/6π)+1/2
又∵-π/6≤x≤π/3
∴-1/6π≤（2x+1/6π)≤5/6π
∴-1/2≤sin(2x+1/6π)≤1
∴0≤sin(2x+1/6π)+1/2≤3/2
即f(x)值域为【0,3/2】
（2）由（1）可知,f(x)=sin(2ωx+1/6π)+1/2
∵f(x)的图像一条对称轴为x=π/3,且易知此题f(x)图像对称轴为2ωx+1/6π=1/2π+kπ（k∈z）
∴x=（1/3π+kπ）/（2ω）=π/3,化简得：
2/3ω-1/3=k
上式可写成 ω=3/2k+1/2
由题0＜ω＜2,
易得0＜3/2k+1/2＜2
得-1/3＜k＜1,
∴k=0
∴ω=2/3k+1/2=1/2
标准高考格式 如果有不懂的 请尽管问我