题目

已知i是数学单位,若复数z1=cosα+isinα.z2=cosβ+isinβ满足|z1－z2|=2倍根号5/5.(1)求cos(α－β)的值 (2)若－π/2＜β＜0＜α＜2/π,且sinβ=－5/13,求sinα的值

提问时间：2021-01-12

答案

(1)|z1－z2|=2√5/5 带入复数,整理有√【（cosα-cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα-sinβ）（sinα-sinβ）】=2√5/5
利用cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β) 显然有cos(α-β)=3/5
(2)－π/2＜β＜0＜α＜2/π 则有α-β∈(0,0.5π) (因为cos(α-β)=3/5>0)
所以α=β+arccos3/5
sinβ=－5/13 则有cosβ=12/13
所以sinα=sin(β+arccos3/5)=0.6*sinβ+0.4*cosβ=33/65
备注：解题中使用了三角函数sin(x+y),cos(x-y)的展开式