题目

若函数f(n)=sinnπ/6,求f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2008)的值
求证：f(n)=f(n+12)

提问时间：2021-01-12

答案

由 sin(2nπ+a) = sina可知 f(1) = f(13) = f(25) = .=f(12*n + 1)
n最大为 2008/12 = 167
f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2008)
= (167 - 1)*(f(1)+f(2)+f(3)+...f(11)) + f(12*167+1)+f(12*167+2)+f(12*167+3)+(12*167+4)
由f(12*n + 1) = f(1)
可知:f(12*167+1) = f(1)
f(12*167+2) = f(2)
f(12*167+3) = f(3)
f(12*167+2) = f(4)
转化后得到:
= (167 - 1)*(f(1)+f(2)+f(3)+...f(11)) + f(12*167+1)+f(12*167+2)+f(12*167+3)+(12*167+4)
=166*(f(1)+f(2)+f(3)+...f(11)) +f(1)+f(2)+f(3)+f(4)
其中f(1)+f(2)+f(3)+...f(11)在可以计算得到为 0
所以最终结果就是f(1)+f(2)+f(3)+f(4) = sinπ/6+sinπ/3+sinπ/2+sinπ2/3
证明 f(n)=f(n+12):
f(n) = sinnπ/6
f(n+12) = sin(n+12)π/6=sin(nπ/6+2π)
由sin(2nπ+a) = sina可知
sin(2π+nπ/6) = sinnπ/6
sin(2nπ+a) = sina 这个总知道为什么吧.