题目

如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC交AC于F，过F作FG∥AB交AE于G．
求证：AG²=AF•FC．

提问时间：2021-01-11

答案

证明：∵E是CD中点，
∴DE=CE；
在△DEA和△CEB中，

AD＝BC ∠D＝∠BCE DE＝CE

∴△DEA≌△CEB（SAS），即AE=BE；
∵GF∥AB，
∴

EG

AE

＝

EF

BE

，即

AG

AE

＝

BF

BE

，
∵AE=BE，则AG=BF；
在Rt△ABC中，BF⊥AC，则△ABF∽△BCF，
∴BF²=AF•FC，即AG²=AF•FC．

在Rt△ABC中，BF⊥AC，根据射影定理可得BF²=AF•FC，所以只需证得BF=AG即可；由于E是CD中点，易证得△DAE≌△CBE，得AE=BE，由于GF∥AB，则△EGF也是等腰三角形，得EG=EF，进而可得AG=BF，由此得证．

本题考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形全等的判定；矩形的性质．

考点点评：此题主要考查的是全等三角形、相似三角形的判定和性质，能够发现AG、BF的等量关系是解答此题的关键．