题目

函数f(x)=3sinπ/2x-log1/2x的零点个数是
请问画图像的时候是把f(x)看成是两个函数,一个是y=sinπ/2x,另一个是log1/2x么?然后去交点么?

提问时间：2021-01-11

答案

可以用解析法逐步分析：
函数f(x)的零点,即
f(x)=3sin(πx/2)-log1/2(x)=0
移项得 3sin(πx/2)=log1/2(x)
这时方程左右两边均为简单的初等函数
方程的解的个数即为求两个函数曲线的交点个数
y=3sin(πx/2)定义域为R,值域为[-3,3],周期为T=4
u=log1/2(x)定义域为R+,值域为R
对于y∈[-3,3],由u=log1/2(x)可解得x∈[1/8,8]
在x∈[1/8,8]上,u=log1/2(x)单调递减
而y=3sin(πx/2)有5个单调区间：[1/8,1][1,3][3,5][5,7][7,8]
当x=1/8时,3sin(π/2*1/8)<3sin(π/2)=3=log1/2(1/8)
x=8时,3sin(π/2*8)=0>-3=log1/2(8)
故在上述每个单调区间内,两条曲线均有一个交点
∴二曲线共有5个交点,即函数f(x)有5个零点
 
也可以用软件画图来做,如果你有合适的软件,一目了然