题目

高数二次曲面的几道题,求解答
自学高数中,不过二次曲面几个求投影区域的题不会做,求解答
(1)曲面x^2+y^2+z^2=R^2 与x^2+y^2+z^2=2Rz所围成的立体,求它在Oxy平面上的投影区域
(2)曲面z=6-x^2-y^2及z=根号下（x^2+y^2）所围的立体,求它在Oxy平面上的投影区域
（3）曲面z=x^2+2y^及z=6-2x^2-y^2所围的立体,求它在Oxy平面上的投影区域
希望有详细步骤,这类题目前不知道怎么解中

提问时间：2021-01-11

答案

（1）∵x²+y²+z²=R² ,x²+y²+z²=2Rz
∴R²=2Rz ==>z=R/2
==>x²+y²=3R²/4 (带入上面任何一个曲面得)
==>x²+y²=(√3R/2)²
故它在Oxy平面上的投影区域是以√3R/2为半径的园
（2）∵z=6-x²-y²,z=√(x²+y²)
∴6-x²-y²=√(x²+y²) ==>[√(x²+y²)]²+√(x²+y²)-6=0
==>[√(x²+y²)-2][√(x²+y²)+3]=0
==>√(x²+y²)-2=0 (√(x²+y²)+3≠0)
==>√(x²+y²)=2
==>x²+y²=2²
故它在Oxy平面上的投影区域是以2为半径的园
（3）∵z=x²+2y²,z=6-2x²-y²
∴x²+2y²=6-2x²-y² ==>x²+y²=2
==>x²+y²=(√2)²
故它在Oxy平面上的投影区域是以√2为半径的园