题目

已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，点E在BC的延长线上，且BE=AB，过点E作EF⊥BE，与BD的延长线交于点F．
求证：BC=EF．

提问时间：2021-01-11

答案

证明：∵EF⊥BE，∠ABC=90°，
∴∠BEF=∠ABC=90°，
∴∠F+∠EBF=90°，
又∵BD⊥AC，
∴∠EBF+∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠F，
∵在△ABC和△BEF中

∠ACB＝∠F ∠ABC＝∠BEF AB＝BE

，
∴△ABC≌△BEF（AAS），
∴BC=EF．

由EF⊥BE，∠ABC=90°得∠BEF=∠ABC=90°，则∠F+∠EBF=90°，而BD⊥AC，则∠EBF+∠ACB=90°，利用等量代换得到∠ACB=∠F，然后根据“AAS”可判断△ABC≌△BEF，所以有BC=EF．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．