题目

圆A X2+Y2+2X+2Y—2=0圆BX2+Y2—2ax—2by+a2—1=0当a,b变化时圆B始终平分圆A的周长求圆B的圆心的轨迹方程

提问时间：2021-01-11

答案

楼主,题目应该是这样的吧：
圆A：x^2+y^2+2x+2y-2=0 圆B：x^2+y^2-2ax-2by+a^2-1=0
把这两个圆的方程化为标准型
圆A：(x+1)^2+(y+1)^2=4 圆B：(x-a)^2+(y-b)^2=b^2+1
圆A的圆心（-1,-1）半径为2；圆A的圆心（a,b）半径为√（b^2+1）
下面分析题目中“圆B始终平分圆A的周长”这句话：
圆B平分圆A的周长,也就是说圆B与圆A的交点的连线经过圆A的圆心
两个交点的连线段就是圆A的直径
则两圆的圆心连线必垂直于交点的连线
因而可以构造直角三角形,得到：
两圆圆心距离的平方+圆A半径的平方=圆B半径的平方
即（a+1）^2+(b+1)^2+4=b^2+1
（a+1）^2+2b+4=0
得：b=-(1/2)a^2-a-5/2
而点（a,b）就是圆B的圆心坐标
所以圆B的圆心轨迹方程就是
y=-(1/2)x^2-a-5/2
注：^是平方的意思,比如a^2就是a的平方的意思