题目

定义在R上的函数f（x）满足：f（x+2）•f（x）=1，当x∈[-2，0）时，f（x）=log₂（-x+3），则f（2013）=______．

提问时间：2021-01-11

答案

∵f（x+2）•f（x）=1，
∴f（x+2）=

1

f(x)

，
将x代换为x+2，则有f（x+4）=

1

f(x+2)

=f（x），
∴f（x）为周期函数，周期为4，
∴f（2013）=f（503×4+1）=f（1），
∵f（x+2）=

1

f(x)

，
令x=-1，则f（1）=

1

f(−1)

，
∵当x∈[-2，0）时，f（x）=log₂（-x+3），
∴f（-1）=log₂（1+3）=log₂4=2，
∴f（1）=

1

f(−1)

=

1

2

，
∴f（1）=

1

2

．
故答案为：

1

2

．