题目

寻求下面算数平均数与几何平均数的解和不等式的证明
1.已知a、b、c都是正数,且a、b、c成等比数列,求证：a2+b2+c2>(a-b+c)2 附注:a2指a的平方 同理指b、c、（a-b+c）的平方 2.某单位决定投资3200元建一长方形的仓库,高度已定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米造价40元,两侧墙砌砖,每米造价45元,顶部每平方米造价20元.问：仓库面积S达到最大,为实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长? 3. 不等式的证明: 当a>0,a≠1,X>0,比较(1/2)logaX与loga[(X+1)/2]的大小

提问时间：2021-01-11

答案

1.原不等式等价于 a^2+b^2+c^2>a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca ab+bc>ca b(a+c)>b^2 a+c>b 而a+c>=2√ac>√ac=b 得证 2.设正面长x米,侧面长y米 则由题意求40x+2*45y+20xy<=3200时 S=xy取最大值时x的值. 此时即2xy+4x+9y<=320 320>=2xy+4x+9y>=2xy+2√(4x*9y)=2xy+12√xy 即S+6√S-160<=0 (√S+16)(√S-10)<=0 0<=√S<=10 Smax=100 此时4x=9y且2xy+4x+9y=320 即x=15,y=20/3时取到等号 3.原题即比较 logaX与2loga[(X+1)/2]=loga[(X+1)/2]^2 的大小 而[(X+1)/2]^2-X =(1/4)x^2-(1/2)x+1/4 =[(x-1)/2]^2 所以x<=[(x+1)/2]^2 所以0=loga[(X+1)/2] a>1时 (1/2)logaX<=loga[(X+1)/2]