题目

一道离散数学的证明题,题目写在补充
设h∈A^A,证明任意f任意g(f∈A^A∩g∈A^A∩f°h=g°h→f=g)当且仅当h是满射

提问时间：2021-01-11

答案

左到右：反证法,若任意f任意g(f∈A^A∩g∈A^A∩f°h=g°h→f=g)成立但是h不满,则存在a∈A不在h(A)（即h的像集）中,那么任意f任意g,f∈A^A∩g∈A^A∩f°h=g°h成立时可以同时有f(a)不等于g(a)成立,（即只限定了f和g在h(A)上的值,在A-h(A)上的值是不确定的）,与“→f=g”矛盾
右到左：若h满,则对任意a∈A有h(a0)=a,则f(a)-g(a)=fh(a0)-gh(a0),如果fh(a0)-gh(a0)=0,则有f(a)-g(a)=0,所以对任意f任意g(f∈A^A∩g∈A^A∩f°h=g°h→f=g)成立
总结一下：左到右反证,找一个a推出矛盾即可；右到左,因为f,g是定义在A上的,所以证对每个a∈A以上命题成立即可
（我也不知道做的对不对.或许逻辑不是太严谨.）