题目

设A是n*n矩阵,已知对角线上的aii>0(对角线上的元素大于零）其余的元素都小于零,
并且矩阵A的每一行相加都等于0,证明；矩阵A的秩r(A)=n-1

提问时间：2021-01-11

答案

显然等于n是不可能的了.
然后证明比如前n-1列是线性无关的.第n列就写作A_n
假设存在一组不全为0的系数 b_1 b_2 ...b_{n-1} 使得 b_1A_1 + b_2A_2 + ...+ b_{n-1}A_{n-1} = 0
那么设其中最大的一个是 b_k 显然这个 b_k 要大于0吧,要不第 n行就有问题了,因为前n-1列的第n行的数都是小于0的,系数再都0了.
考虑第k行,除了第k列之外,其他的数都= a_kj * b_k
所以和的第k行是 b_1*a_k1 + b_2*a_k2 + ...+ b_{n-1}*a_k{n-1} >= b_k*a_k1 + b_k*a_k2 + ...+ b_k*a_k{n-1} = b_k * (a_k1+ a_k2 + ...+ a_k{n-1} ) = b_k * ( - a_kn)
上面说了 b_k > 0 ,根据条件 a_kn < 0 （因为这里系数列的长度只到n-1,k就不可能是n） 所以上面得到,和的第k行严格大于0,这就证明了前n-1列不可能线性相关
很久没看过线性代数的东西了,我想还是会有特别简单的证明办法的吧.