题目

一道高一数列题
已知数列an满足:对于n∈N,都有an+1=（13an-25）/（an+3）.
（1）若a1=5,求an；（2）若a1=3,求an；（3）若a1=6,求an；（4）当a1取哪些值时,无穷数列an不存在?
采纳回答最全的,粘贴的也行,共计100分
用特征根法或用不动点法来解的另给50分

提问时间：2021-01-11

答案

利用不动点法,
由于:a(n+1)=（13an-25）/（an+3）
令x=(13x-25)/(x+3)
解得x1=x2=5
因为x1=x2=5
则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p
在方程x=(ax+b)/(cx+d) 中：
p=2c/(a+d) =1/8
所以{1/(an-5)}为等差数列,公差为p=2c/(a+d) =1/8
（1）若a1=5,a2=(13×5-25)/(5+3)=5,同理a3=5,……猜想ak=5,当n=k+1时,a(k+1)=(13ak-25)/(ak+3)=(13×5-25)/(5+3)=5
故对n=k+1,也成立.
所以an=5
（2）若a1=3时,1/(a1-5)=-1/2
所以1/(an-5)=-1/2+1/8(n-1)=(n-5)/8
即an-5=8/(n-5)
解得an=(5n-17)/(n-5)
（3）当a1=6时,1/(a1-5)=1
所以1/(an-5)=1+1/8(n-1)=(n+7)/8
即an-5=8/(n+7)
解得an=(5n+43)/(n+7)