题目

矩阵的相似矩阵求法
如果矩阵A不能相似对角化,那么它的相似矩阵怎么求
那这个p怎么求，老师随便举个三阶矩阵例子示范一下

提问时间：2021-01-11

答案

不能相似对角化的矩阵在复数域中与唯一的若当标准型相似,在实数域中相似于唯一的实相似标准形.
若当标准型由若干个若当块对角排列组成.J(e,n) =
e 0 ...0
1 e ...0
...
0 0 ...e
其不变因子（或行列式因子）为：1,1,1,...,(x - e) ^ n
实相似标准形由多项式的伴侣矩阵组成
若P(x) = a[n] x^n + a[n-1] x^n-1 + .+a[1]x + a[0]
则伴侣阵为
0 0 0 ...0 a[n]
1 0 0 ...0 a[n-1]
0 1 0 ...0 a[n-2]
....
0 0 0 ...1 a[1]
其不变因子为：1,1,1,...,P(x)
具体的求法：先做出特征矩阵|Lambda * E - A|,再用Lambda矩阵的初等行列变换将其化为标准形,即可写出初等因子.之后每一个初等因子对应一个小块,排成对角即可.
详细做法请参考丘维声《高等代数》中的有关内容