题目

已知函数f（x）=

x2+ax+11

x+1

（a∈R），若对于任意的X∈N^*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是______．

提问时间：2021-01-11

答案

∵x∈N^*，
∴f（x）=

x2+ax+11

x+1

≥3恒成立⇔x²+ax+11≥3x+3恒成立，
∴ax≥-x²-8+3x，又x∈N^*，
∴a≥-

8

x

-x+3恒成立，
∴a≥g（x）_max，
令g（x）=-

8

x

-x+3（x∈N^*），再令h（x）=x+

8

x

（x∈N^*），
∵h（x）=x+

8

x

在（0，2

2

]上单调递减，在[2

2

，+∞）上单调递增，而x∈N^*，
∴h（x）在x取距离2

2

较近的整数值时达到最小，而距离2

2

较近的整数为2和3，
∵h（2）=6，h（3）=

17

3

，h（2）＞h（3），
∴当x∈N^*时，h（x）_min=

17

3

．又g（x）=-

8

x

-x+3=-h（x）+3，
∴g（x）_max=-

17

3

+3=-

8

3

．
∴a≥-

8

3

．

由于x∈N^*，可将f（x）=

x2+ax+11

x+1

≥3转化为a≥-

8

x

-x+3，再令g（x）=-

8

x

-x+3（x∈N^*），利用其单调性可求得g（x）_max，从而可得答案．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查函数恒成立问题，依题意得到a≥-

8

x

-x+3是关键，考查转化思想，构造函数的思想，考查函数的单调性的应用，综合性强，思维度深，属于难题．