题目

已知三角形OAB的顶点坐标为O(0,0),A(2,9),B(6,-3),点p的横坐标为14,且向量OP=nPB,点Q是变AB上一点,
且向量OQ·向量AP=0
（1）求实数n的值与点p的坐标
（2）求点Q的坐标
（3）若R为线段OQ上的一个动点,试求向量PO·（向量RA+向量RB）的最小值

提问时间：2021-01-11

答案

⑴ n＝7/3.P（14,-7）
⑵ 设Q（x,y）.Q∈AP,y＝-3x+15（AP方程）.（x.y）•（12,-16）＝0.解得Q（4,3）
⑶ 设R（4t,3t）.（t∈[0,1]）
PO•（RA+RB）＝（-14,7）•（8-8t.6-6t）＝-70+70t＝-70 [最小值,t＝0,即R与O重合时达到]
或
(1)解由OP=nPB得:OPB共线,所以P在直线OB:y=-x/2上,P点横坐标代入得yP=-7,所以P(14,-7)
所以OP=(14,-7),PB=(-8,4)所以n=-7/4
(2)此时AP=(12,-16),AB=(4,-12),设AQ=kAP(k∈[0,1]),则AQ=(4k,-12k),所以OQ=(2+4k,9-12k),
所以12(2+4k)-16(9-12k)=0,所以k=1/2,所以OQ=(4,3),即Q(4,3)
(3)设OR=tOQ(t∈[0,1])=(4t,3t),则RA=(2-4t,9-3t),RB=(6-4t,-3-3t),所以RA+RB=(8-8t,6-6t)
而PO=(-14,7),所以PO·(RA+RB)=-14(8-8t)+7(6-6t)=70(1-t),当t=1时最小,此时PO·(RA+RB)=0