题目

某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）

（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？

提问时间：2021-01-11

答案

（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元．
由题意设f（x）=k₁x，g(x)=k2

x

．由图知f(1)=

1

5

，∴k1=

1

5

又g（4）=1.6，∴k2=

4

5

．从而f(x)=

1

5

x(x≥0)，g(x)=

4

5

x

(x≥0)（8分）
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元，设企业利润为y万元．
y=f(x)+g(10-x)=

x

5

+

4

5

10-x

（0≤x≤10）
令

10-x

=t，则y=

10-t2

5

+

4

5

t=-

1

5

(t-2)2+

14

5

(0≤t≤

10

)
当t=2时，ymax=

14

5

=2.8，此时x=10-4=6（15分）
答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，
该企业获得最大利润，利润为2.8万元．                              （16分）

（1）由于A产品的利润y与投资量x成正比例，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，故可设函数关系式，利用图象中的特殊点，可求函数解析式；
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元，设企业利润为y万元．利用（1）由此可建立函数，采用换元法，转化为二次函数．利用配方法求函数的最值．

本题考点：函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值．

考点点评：本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查正比例函数模型，关键是将实际问题转化为数学问题．