题目

已知圆C满足：截Y轴所得弦长为2；被X轴分成两段圆弧,其弧长之比为3：1；圆心C到直线L：X-2Y=0距离为五分之根号五,求圆C方程
在平面直角坐标系XOY中,已知圆C1圆心坐标为（-3,1）,半径为2；圆C2圆心坐标为（4,5）,半径为2.设P为平面上的点,满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线L1和L2,它们分别与C1和C2相交,且直线L1被C1截得的弦长与直线L2被C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.

提问时间：2021-01-11

答案

圆心C（a,b）
圆交y轴于M（0,b+1）,N（0,b-1）
交x轴于P（a-c,0）,Q（a+c,0）.∠PCQ=90°（因为弧长）
b=c,P（a-b,0）,Q（a+b,0）
半径为r
r^2=b^2+b^2=2b^2
r^2=a^2+1^2=a^2+1
即a^2+1=2b^2（1）
又圆心C到直线L：X-2Y=0距离为五分之根号五
（a-2b）的绝对值/根号5=1/根号5
即a=2b+1或a=2b-1（2）
综上解得a=1,b=1或a=-1,b=-1
r^2=2
所以圆C为(x+1)^2+(y+1)^2=2
或(x-1)^2+(y-1)^2=2
C1(-3,1),C2(4,5),r1=r2=2
当l1过C1点时,l2必过C2
则∠C1PC2=90°
C1,C2中点C为（1/2,3）
即P点一定在以C为圆心CC1长为半径的圆
即P在（x-1/2）^2+（y-3）^2=65/4上
而当两条直线以P点旋转时,所截弦长依旧相等
由于两直线转角相等,两弦心距相等
弦心距与弦垂直,两直角三角形全等
即P点到两圆心距离相等
此时只有P（-2/3,15/2）和P（5/2,-1/2）满足条件
这10分得的不容易啊