题目
数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1(n+1是脚标)=(1/3)Sn,n=1,2,3…求(1)a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式;(2)a2+a4+a6+…+a2n的值
提问时间:2021-01-10
答案
解(1):
依题意,由an+1=Sn/3可得Sn=3(an+1) 或 Sn-1=3an (式1)
又因为Sn=Sn-1+an (式2)
将(式1)、(式2)代入an+1=Sn/3 可得:an+1=(Sn-1+an)/3=(3an+an)/3=(4/3)an
即:an+1/an=4/3 (n>1)
所以,数列{an}除n=1时为a1外,其余为等比数列,该等比数列首项为a2,公比q=4/3,n>1
因为S1=a1=1,先解得首项a2=S1/3=1/3
通项公式:n>1时,an=a2*q^(n-2)=(1/3)*(4/3)^(n-2);n=1时,a1=1
由通项公式得:a2=1/3,a3=4/9,a4=16/27
解(2):
由前述可知,数列a2,a4,a6...a2n也是等比数列,首项为a2,公比q=16/9,n=1,2,3...
Sn=a2(q^n-1)/(q-1)=(1/3)*((16/9)^n-1)/(16/9-1)
验算:n=1时,Sn=1/3;n=2时,S2=25/27,a2+a4=a2+(16/9)a2=(25/9)a2=25/27=S2
依题意,由an+1=Sn/3可得Sn=3(an+1) 或 Sn-1=3an (式1)
又因为Sn=Sn-1+an (式2)
将(式1)、(式2)代入an+1=Sn/3 可得:an+1=(Sn-1+an)/3=(3an+an)/3=(4/3)an
即:an+1/an=4/3 (n>1)
所以,数列{an}除n=1时为a1外,其余为等比数列,该等比数列首项为a2,公比q=4/3,n>1
因为S1=a1=1,先解得首项a2=S1/3=1/3
通项公式:n>1时,an=a2*q^(n-2)=(1/3)*(4/3)^(n-2);n=1时,a1=1
由通项公式得:a2=1/3,a3=4/9,a4=16/27
解(2):
由前述可知,数列a2,a4,a6...a2n也是等比数列,首项为a2,公比q=16/9,n=1,2,3...
Sn=a2(q^n-1)/(q-1)=(1/3)*((16/9)^n-1)/(16/9-1)
验算:n=1时,Sn=1/3;n=2时,S2=25/27,a2+a4=a2+(16/9)a2=(25/9)a2=25/27=S2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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英语翻译
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