题目

已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．

（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：______；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）

提问时间：2021-01-10

答案

（1）如图①AH=AB．
（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE=DN．
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，
在Rt△AEB和Rt△AND中，

AB＝AD ∠ABE＝∠ADN BE＝DN

，
∴Rt△AEB≌Rt△AND，
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，
∴∠EAM=∠NAM=45°，
在△AEM和△ANM中，

AE＝AN ∠EAM＝∠NAM AM＝AM

，
∴△AEM≌△ANM．
∴S_△AEM=S_△ANM，EM=MN，
∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，
∴AB=AH．
（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，
∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°．
分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，
由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD．
设AH=x，则MC=x-2，NC=x-3，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN²=MC²+NC²
∴5²=（x-2）²+（x-3）²（6分）
解得x₁=6，x₂=-1．（不符合题意，舍去）
∴AH=6．

（1）由三角形全等可以证明AH=AB，
（2）延长CB至E，使BE=DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH=AB，
（3）分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH=x，则MC=x-2，NC=x-3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．

本题考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

考点点评：本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，不是很难．