题目

设函数f(x)=ax2+bx+1,a大于0,b∈R的最小值为-a,f(x)=0两个实根为x1,x2.1.求x1-x2的值 2.
设函数f(x)=ax2+bx+1,a大于0,b∈R的最小值为-a,f(x)=0两个实根为x1,x2.
1.求x1-x2的值
2.若关于x的不等式f(x)＜0解集为A,函数f(x)+2x在A上不存在最小值,求a的取值范围；
3.若-2＜x1＜0,求b的取值范围.

提问时间：2021-01-10

答案

1,函数f(x)=ax^2+bx+1=a(x+b/2a)^2+1-b^2/4a,(a>0)
最小值为-a .
即：1-b^2/4a=-a,
化简,得：b^2-4a=4a^2.
f(x)=0的两个实根为x1,x2,
即 方程 ax^2+bx+1=0 有两个实根为x1,x2,
所以 x1+x2=-b/a,x1x2=1/a.
故 (x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2
=(-b/a)^2-4/a
=(b^2-4a)/a^2
=4a^2/a^2=4.
所以x1-x2的值为2,或-2.
2,不等式f(x)＜0解集为A={x| x11,
3(4a-1)>1,
4a-1>1/3,
a>1/3.
故所求a的取值范围为：a>1/3.
3,-2＜x1＜0,则：由x1-x2=-2,或 x1-x2=2,
可知：0