题目
已知:在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系.
(1)如图1,若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系是什么;
(2)如图2,若AB=BC,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出猜想,并加以证明;
(3)如图3,若AB=kBC,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出猜想不用证明.
(1)如图1,若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系是什么;
(2)如图2,若AB=BC,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出猜想,并加以证明;
(3)如图3,若AB=kBC,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出猜想不用证明.
提问时间:2021-01-10
答案
(1)AE=EF;
证明:如图1,过点E作EH∥AB交AC于点H.
则∠BAC+∠AHE=180°,∠BAC=∠CHE,
∵AB=BC=AC,
∴∠BAC=∠ACB=60°,
∴∠CHE=∠ACB=∠B=60°,
∴EH=EC.
∵AD∥BC,
∴∠FCE=180°-∠D=120°,
又∵∠AHE=180°-∠BAC=120°,
∴∠AHE=∠FCE,
∵∠AOE=∠COF,∠AEF=∠ACF,
∴∠EAC=∠EFC,
在△AEH和△FEC中,
∵
,
∴△AEH≌△FEC,
∴AE=EF;
(2)猜想:(1)中的结论是没有发生变化.
证明:如图2,过点E作EH∥AB交AC于点H,则∠BAC+∠AHE=180°,∠BAC=∠CHE,
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB
∴∠CHE=∠ACB,
∴EH=EC
∵AD∥BC,
∴∠D+∠DCB=180°.
∵∠BAC=∠D,
∴∠AHE=∠DCB=∠ECF
∵∠AOE=∠COF,∠AEF=∠ACF,
∴∠EAC=∠EFC,
∴△AEH≌△FEC,
∴AE=EF;
(3)猜想:(1)中的结论发生变化.
证明:如图3,过点E作EH∥AB交AC于点H.
由(2)可得∠EAC=∠EFC,
∵AD∥BC,∠BAC=∠D,
∴∠AHE=∠DCB=∠ECF,
∴△AEH∽△FEC,
∴AE:EF=EH:EC,
∵EH∥AB,
∴△ABC∽△HEC,
∴EH:EC=AB:BC=k,
∴AE:EF=k,
∴AE=kEF.
证明:如图1,过点E作EH∥AB交AC于点H.
则∠BAC+∠AHE=180°,∠BAC=∠CHE,
∵AB=BC=AC,
∴∠BAC=∠ACB=60°,
∴∠CHE=∠ACB=∠B=60°,
∴EH=EC.
∵AD∥BC,
∴∠FCE=180°-∠D=120°,
又∵∠AHE=180°-∠BAC=120°,
∴∠AHE=∠FCE,
∵∠AOE=∠COF,∠AEF=∠ACF,
∴∠EAC=∠EFC,
在△AEH和△FEC中,
∵
|
∴△AEH≌△FEC,
∴AE=EF;
(2)猜想:(1)中的结论是没有发生变化.
证明:如图2,过点E作EH∥AB交AC于点H,则∠BAC+∠AHE=180°,∠BAC=∠CHE,
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB
∴∠CHE=∠ACB,
∴EH=EC
∵AD∥BC,
∴∠D+∠DCB=180°.
∵∠BAC=∠D,
∴∠AHE=∠DCB=∠ECF
∵∠AOE=∠COF,∠AEF=∠ACF,
∴∠EAC=∠EFC,
∴△AEH≌△FEC,
∴AE=EF;
(3)猜想:(1)中的结论发生变化.
证明:如图3,过点E作EH∥AB交AC于点H.
由(2)可得∠EAC=∠EFC,
∵AD∥BC,∠BAC=∠D,
∴∠AHE=∠DCB=∠ECF,
∴△AEH∽△FEC,
∴AE:EF=EH:EC,
∵EH∥AB,
∴△ABC∽△HEC,
∴EH:EC=AB:BC=k,
∴AE:EF=k,
∴AE=kEF.
(1)中所给的是最特殊的一种情况,但对整个题来说,要从(1)中找到基本的解题思路,此题难的是构造全等三角形,从而证明线段相等.虽然(1)中没有要求步骤,但能正确的解出(1)可以给(2)和(3)定一个基调;
(2)是将(1)中的等边三角形变为等腰三角形,但起关键作用的条件没变,任然可以仿照(1)中的方法去做;
(3)中将三角形变为更一般的三角形,但和(1)比较起来还是有两个条件没变,而利用这两个条件能证明两个三角形相似,从而利用相似的对应边成比例得出结论.
(2)是将(1)中的等边三角形变为等腰三角形,但起关键作用的条件没变,任然可以仿照(1)中的方法去做;
(3)中将三角形变为更一般的三角形,但和(1)比较起来还是有两个条件没变,而利用这两个条件能证明两个三角形相似,从而利用相似的对应边成比例得出结论.
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.
主要考查了全等三角形的判定.本题三问由特殊到一般,注意比较它们之间的异同,关键抓住不变量,从而得出结论.本题难度很大.
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