题目

数列证明题证明：若a,b互质,m>0,则数列{a+bk},k=0,1,...中存在无限多个数与m互素.

提问时间：2021-01-10

答案

证明思路：题目要求m>0,若m=1,则结论显然,因为可以认为1和任意正整数互素.故只需针
对m>1的情况予以证明.
证明：(一)、证（a,a+b）=1
如若不然,设a和a+b有公约数n(n≥2),即a=t*n,a+b=s*n
则 b=(a+b)-a＝s*n-t*n=(s-t)*n
从而a,b有公约数n,与(a,b)=1 矛盾.
因此（a,a+b）=1
(二)、证a与(a+b)中,至少有一个数与m互素.
如若不然,设a和m有公约数n1(n1≥2),即a=t1*n1,m=s1*n1
a+b和m有公约数n2(n2≥2),即a+b=t2*n2,m=s2*n2
显然n1≠n2,不然不满足（a,a+b）=1
则 s1*n1＝s2*n2,n2=s1*n1/s2
b=(a+b)-a=t2*n2-t1*n1=t2*s1*n1/s2-t1*n1=n1*(t2*s1/s2-t1)
可见a,b有公约数n1,与(a,b)=1 矛盾.
因此,a与(a+b)中,至少有一个数与m互素.
(三)、证当数列{a+bk},k=0,1,...中有一个数与m互素时,则有无限多个数与m互素.
由上面的结论,知a+b*i与m互素（i=0或i=1),
则a+b*(i+j*m)也与m互素.（j=1,2,.）
如若不然,设a+b*(i+j*m)＝x*n,m=y*n（n≥2）
则a+b*i=x*n-b*j*m=x*n-b*j*y*n=n*(x-b*j*y)
可见 a+b*i与m有公约数n,出现矛盾.
因此,a+b*(i+j*m)也与m互素.（j=1,2,.）
由于j=1,2,.有无限多个,所以数列{a+bk},k=0,1,...中存在无限多个数与m互素.证
毕.