题目

一道微分方程的问题
设C1,C2是任意常数,线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次方程,y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的解,该方程的通解
A、y=c1y1+c2y2+c3y3 B.y=c1y1+c2y2+(c1+c2)y3
C.y=c1y1+c2y2+(1-c1-c2)y3 D.y=c1y1+c2y2+(1-c2-c3)y3
关于这个题,我最想知道的是,如何迅速的把错误选项排除掉,感觉应该不会是一个个的求导带入原方程计算吧?一道选择题应该不会做的比大体计算量还大,是不是有什么定理能用,一下能够排除掉部分错误选项,然后再去有针对性的验证线性无关

提问时间：2021-01-10

答案

答案是C.
首先,排除AD,取值独立的任意常数的个数超过2个了.
其次,把BCD都写成二阶非齐次线性微分方程的通解的结构的形式：Y*+C1Y1+C2Y2,这样可排除B.
最后,剩下的C已经是正确答案了.C可写成y3+C1(y1-y3)+C2(y2-y3),结构符合要求,而且y3是非齐次方程的解,y1-y3,y2-y3都是齐次方程的解且线性无关.