题目

如图．直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点,边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上．OA∥BC,OA=4 2 ,OC=3 2 2
如图．直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点,边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上．OA∥BC,OA=4 根号2 ,OC=3 /2 根号 2 ,∠OAB=45°,D是BC上一点,CD=3 /2根号2 ．E、F分别是线段OA、AB上的两动点,且始终保持∠DEF=45°,设OE=x,AF=y．

提问时间：2021-01-10

答案

(1)
作BH垂直x轴,因为角OAB=45,所以BH=AH=3/2根号2,
因为BD=根号2,所以AO=4BD=4根号2 ,所以BC=OH=AO-AH=4根号2-3/2根号2=5/2根号2,所以CD=BC-BD=5/2根号2-根号2=3/2根号2,所以D点的坐标是（3/2根号2,3/2根号2）
（2）连结OD,由结论（1）知：D在∠COA的平分线上,则 ∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB中,∠BAO=45°,∴OD=AB=3
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°
∴∠1=∠2,∴△ODE∽△AEF
∴OE/AF=OD/AE,即：X/Y=3/(4根号2-x)
∴y与x的解析式为：y=-1/3x^2+(4根号2)x/3
（3）当△AEF为等腰三角形时,存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况.
①当EF=AF时,∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,
∴△AEF为等腰直角三角形.D在A’E上（A’E⊥OA）,
B在A’F上（A’F⊥EF）
∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为
四边形EFBD的面积.
∵AE=OA-OE=OA-CD=4根号2-3/2根号2=5/2根号2
∴AF=5/2
S△AEF=25/8
∴S梯形AEDB=21/4
∴S四边形BDEF=17/8 (8分)
②当EF=AE时,此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
∠DEF=∠EFA=45°,DE∥AB ,又DB∥EA
∴四边形DEAB是平行四边形
∴AE=DB=根号2
∴S△AEF=S△A'EF=1
③当AF=AE时,
四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内.
∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
由（2）知△ODE∽△AEF,则OD=OE=3
∴AE=AF=OA-OE=4根号2-3
过F作FH⊥AE于H,则
FH=4-3根号2/2
∴S△A‘EF=S△AEF=(41根号2-48)/4
综上所述,△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为17/8或1或 41根号2-48)/4