题目

如图,已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A,与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且OC=2．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D,已知P为x轴上的一个动点,且△PBD为直角三角形,求点P的坐标．

提问时间：2021-01-10

答案

（1）一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A,与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B,则可求得A(-4,0)、B（0,2）.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且OC=2,所以有
b^2=4ac
-b/2a=I2I
c=2
解得a＝1/2,b＝-2,c＝2或a＝1/2,b＝2,c＝2,
所以二次函数的解析式是y=x^2/2-2x+2或y=x^2/2+2x+2
（2）当二次函数的解析式是y=x^2/2+2x+2时,一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数的图象的另一交点为D为坐标为（-3,1/2）,设P（X,0）,DB^2=45/4,分三种情况讨论：
第一当DP垂直DB于D时,(3-X)^2+1/4+45/4=X^2+4,解得X=-11/4,P点坐标为（-11/4,0）；
第二当DP垂直DB于P时,(3-X)^2+1/4+X^2+4=45/4,解得X=(3+根号5)/2或（3-根号5）/2,P点坐标为[(3+根号5)/2,0]或[(3+根号5)/2,0]；
第三当DP垂直DB于B时,45/4+X^2+4＝(X-3)^2+1/4,解得X=1,P点坐标为（1,0）；
当二次函数的解析式是y=x^2/2-2x+2时,一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数的图象的另一交点为D为坐标为（5,9/2）,设P（X,0）,DB^2=125/4,分三种情况讨论：
第一当DP垂直DB于D时,(5+X)^2+81/4+125/4=X^2+4,解得X=29/4,P点坐标为（29/4,0）；
第二当DP垂直DB于P时,(5-X)^2+81/4+X^2+4=125/4,无解；
第三当DP垂直DB于B时,125/4+X^2+4＝(X-5)^2+81/4,解得X=1,P点坐标为（1,0）；