题目

两个外切的圆1,2,为什么内公切线是两个圆方程相减,

提问时间：2021-01-09

答案

这是“两相交圆方程相减得公共弦方程”的变式
设两圆分别为
x^2+y^2+c1x+d1y+e1=0 ①
x^2+y^2+c2x+d2y+e2=0 ②
两式相减得
（x^2+y^2+c1x+d1y+e1）-（x^2+y^2+c2x+d2y+e2）=0 ③
这是一条直线的方程
（1）先证这条直线过切点
设切点为(x0,y0)则满足①②
所以满足③
所以切点在直线③上
（2）再证圆与这条直线有且只有一个交点
设圆①上还有另外一点(x1,y1)在直线③上
（x1,y1与x0,y0不同时相等,也可以写作(x0-x1)^2+(y0-y1)^2≠0)
则(x1,y1)满足①③
所以(x1,y1)满足②
所以(x1,y1)是圆①和圆②的另一个交点
与两圆外切矛盾
所以圆与这条直线有且只有一个交点
综上所述,（x^2+y^2+c1x+d1y+e1）-（x^2+y^2+c2x+d2y+e2）=0
是两圆的切线