题目

在等比数列{an}中,a1＞0,且a3-a2=8,又a1,a5的等比中项为16
（1）求数列{an}的通项公式（2）设bn=log4an,数列{bn}的前n项和为sn,是否存在正整数k,使得1/s1+1/s2+1/s3+…+1/sn＜k对任意n∈N*恒成立?若存在,求出正整数k的最小值,若不存在,请说明理由

提问时间：2021-01-09

答案

(1)a1,a5的等比中项为16
所以a3=16或-16
若a3=-16,则a2=-24不合题意
所以a3=16
a2=8
因此an=2^(n+1)
(2)bn=(n+1)/2
Sn=n(n+3)/4
1/Sn=4/[n(n+3)]=4/3[1/n-1/(n+3)]
所以1/S1+1/S2+...+1/Sn=4/3(1-1/4)+4/3(1/2-1/5)+...+4/3(1/n-1/(n+3))
=4/3[1+1/2+1/3-1/(n+1)-1/(n+2)-1/(n+3)]