题目

解析几何.已知椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（-c
解析几何.已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（-c,0）、F2（c,0）,离心率为
1
2
,椭圆上的动点P到直线l：x=
a2
c
的最小距离为2,延长F2P至Q使得|
F2Q 
|=2a,线段F1Q上存在异于F1的点T满足
PT
•
TF1 
=0．
（1）求椭圆的方程；
（2）求点T的轨迹C的方程；
（3）求证：过直线l：x=
a2
c
上任意一点必可以作两条直线与T的轨迹C相切,并且过两切点的直线经过定点

提问时间：2021-01-09

答案

解析几何：已知椭圆：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（-c,0）、F2（c,0）,离心率为1/2,椭圆上的动点P到直线l：x=a^2/c的最小距离为2,延长F2P至Q使得|F2Q|=2a,线段F1Q上存在异于F1的点T满足PT•TF1=0．
（1）求椭圆的方程；
（2）求点T的轨迹C的方程；
（3）求证：过直线l：x=a2/c
上任意一点必可以作两条直线与T的轨迹C相切,并且过两切点的直线经过定点
(1)解析：∵椭圆：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）,焦点F1(-c,0)、F2(c,0),e=1/2,椭圆上的动点P到直线l：x=a^2/c的最小距离为2
∴a^2/c-a=2==>a^2-ac=2c==>a^2-a^2*e=2c==>a^2=4c==>a^2/c=4
∴a=2,c=1==>b^2=3
∴椭圆：x2/4+y2/3=1
(2)解析：延长F2P至Q使得|F2Q|=2a,线段F1Q上存在异于F1的点T满足向量PT•TF1=0
∴PT⊥TF1,即PT⊥QF1
∵|PF1|+|PF2|=2a
∴|PQ|=|PF1|==>T为F1Q中点
设T(x,y),则Q(2x+1,2y)
|F2Q|=2a==>√[(2x+1-1)^2+4y^2]=2*2=4
(2x+1-1)^2+4y^2=16==>x^2+y^2=4
∴点T的轨迹C的方程为x^2+y^2=4
(3)证明：∵直线L：x=a^2/c=4,为椭圆一条准线
∵T的轨迹C为圆x^2+y^2=4,圆心（0,0）,半径=2
显然,过直线l：x=a2/c上任意一点必可以作两条直线与T的轨迹C相切
取椭圆准线上一点E(4,0),过E作轨迹C二条切线,切点坐标为(x,y)
X^2+y^2+(x-4)+y^2=4^2==>-8x+16=8==>x=1
∴切点坐标为(1,√3),(1,-√3)
切点连线方程为x=1
取椭圆准线上一点F(4,4),过F作轨迹C二条切线,切点坐标为(1,√3),(1,-√3)
X^2+y^2+(x-4)+(y-4)^2=(4√2)^2==>x+y=1==>x=1-y
∴切点坐标为(1/2-√7/2,1/2+√7/2),(1/2+√7/2,1/2-√7/2)
K=√7/(-√7)=-1
切点连线方程为y-1/2-√7/2=-1(x-1/2+√7/2)==>x+y-1=0
二切点连线交于（0,1）
∴两切点的直线经过定点F2(0,1)