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题目
解析几何.已知椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(-c
解析几何.已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),离心率为
1
2
,椭圆上的动点P到直线l:x=
a2
c
的最小距离为2,延长F2P至Q使得|
F2Q 
|=2a,线段F1Q上存在异于F1的点T满足
PT

TF1 
=0.
(1)求椭圆的方程;
(2)求点T的轨迹C的方程;
(3)求证:过直线l:x=
a2
c
上任意一点必可以作两条直线与T的轨迹C相切,并且过两切点的直线经过定点

提问时间:2021-01-09

答案
解析几何:已知椭圆:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),离心率为1/2,椭圆上的动点P到直线l:x=a^2/c的最小距离为2,延长F2P至Q使得|F2Q|=2a,线段F1Q上存在异于F1的点T满足PT•TF1=0.
(1)求椭圆的方程;
(2)求点T的轨迹C的方程;
(3)求证:过直线l:x=a2/c
上任意一点必可以作两条直线与T的轨迹C相切,并且过两切点的直线经过定点
(1)解析:∵椭圆:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),焦点F1(-c,0)、F2(c,0),e=1/2,椭圆上的动点P到直线l:x=a^2/c的最小距离为2
∴a^2/c-a=2==>a^2-ac=2c==>a^2-a^2*e=2c==>a^2=4c==>a^2/c=4
∴a=2,c=1==>b^2=3
∴椭圆:x2/4+y2/3=1
(2)解析:延长F2P至Q使得|F2Q|=2a,线段F1Q上存在异于F1的点T满足向量PT•TF1=0
∴PT⊥TF1,即PT⊥QF1
∵|PF1|+|PF2|=2a
∴|PQ|=|PF1|==>T为F1Q中点
设T(x,y),则Q(2x+1,2y)
|F2Q|=2a==>√[(2x+1-1)^2+4y^2]=2*2=4
(2x+1-1)^2+4y^2=16==>x^2+y^2=4
∴点T的轨迹C的方程为x^2+y^2=4
(3)证明:∵直线L:x=a^2/c=4,为椭圆一条准线
∵T的轨迹C为圆x^2+y^2=4,圆心(0,0),半径=2
显然,过直线l:x=a2/c上任意一点必可以作两条直线与T的轨迹C相切
取椭圆准线上一点E(4,0),过E作轨迹C二条切线,切点坐标为(x,y)
X^2+y^2+(x-4)+y^2=4^2==>-8x+16=8==>x=1
∴切点坐标为(1,√3),(1,-√3)
切点连线方程为x=1
取椭圆准线上一点F(4,4),过F作轨迹C二条切线,切点坐标为(1,√3),(1,-√3)
X^2+y^2+(x-4)+(y-4)^2=(4√2)^2==>x+y=1==>x=1-y
∴切点坐标为(1/2-√7/2,1/2+√7/2),(1/2+√7/2,1/2-√7/2)
K=√7/(-√7)=-1
切点连线方程为y-1/2-√7/2=-1(x-1/2+√7/2)==>x+y-1=0
二切点连线交于(0,1)
∴两切点的直线经过定点F2(0,1)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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