题目

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=

1

2

提问时间：2021-01-09

答案

（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=

1

2

（3n+S_n）对一切正整数n成立
∴S_n=2a_n-3n，S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
两式相减得：a_n+1=2a_n+3，
∴a_n+1+3=2（a_n+3），
∴

an+1+3

an+3

=2，
∴数列{a_n+3}是等比数列．
（2）∵

an+1+3

an+3

=2，a_n=

1

2

（3n+S_n），
∴a1＝

1

2

(3+a1)，解得a₁=3，
∴a₁+3=6，
∴数列{a_n+3}是首项为6，公比为2的等比数列，
∴数列a_n+3=6•2^n-1，
故a_n=3（2ⁿ-1）．