题目
在由正整数组成的数列中{an}中,已知anan+1=2^2n-1(n∈N*),求证:数列{an}为等比数列的充要条件是a1=1
提问时间:2021-01-09
答案
证明:①充分条件:a1=1,{an}是等比数列
由anan+1=2^2n-1,得 n≥2时,anan-1=2^2n-3 两式相除,得 an+1/an-1=2²
则 anan+1=a1a2*2^(2n-2)=2^(2n-1)(n≥3) a1=1,得 a2=2 a3=4 a4=8
{an+1/an-1}是以4为首项的常数列
②必要条件:{an}是等比数列,a1=1
{an}是等比数列,公比为q,则 {anan+1}是以q²为公比的等比数列
anan+1/anan-1=2^(2n-1)/2^(2n-3)=q²=4 ,an>0,q>0,得 q=2 a1a2=2=a1²q
∴ a1=1
由anan+1=2^2n-1,得 n≥2时,anan-1=2^2n-3 两式相除,得 an+1/an-1=2²
则 anan+1=a1a2*2^(2n-2)=2^(2n-1)(n≥3) a1=1,得 a2=2 a3=4 a4=8
{an+1/an-1}是以4为首项的常数列
②必要条件:{an}是等比数列,a1=1
{an}是等比数列,公比为q,则 {anan+1}是以q²为公比的等比数列
anan+1/anan-1=2^(2n-1)/2^(2n-3)=q²=4 ,an>0,q>0,得 q=2 a1a2=2=a1²q
∴ a1=1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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