题目

如图,四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,顺次连接E、F、G、H,得到的四边形EFGH
中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图,当四边形ABCD变成等腰梯形时,它的中点四边形是菱形,请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时,它的中点四边形是；
当四边形ABCD变成矩形时,它的中点四边形是；
当四边形ABCD变成菱形时,它的中点四边形是；
当四边形ABCD变成正方形时,它的中点四边形是；
（3）根据以上观察探究,请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的?

提问时间：2021-01-09

答案

（1）连接AC
E为AB中点,F为BC中点.
所以EF为△ABC中位线,EF∥AC,EF=AC/2
G为CD中点,H为AD中点
所以GH为△ACD中位线,GH∥AC,GH=AC/2
因此EF∥GH,且EF=GH
四边形EFGH一组对边平行且相等,因此为平行四边形
（2）ABCD为等腰梯形时,AC=BD.而EFGH中EF=GH=AC/2,FG=EH=BD/2
所以EFGH为邻边相等的平行四边形,因此是菱形
若ABCD为平行四边形,则其对角线AC、BD既不相等也不垂直,因此EFGH是平行四边形
若ABCD为矩形,则AC=BD.因此EF=FG=GH=EH.EFGH为菱形
若ABCD为菱形,则AC⊥BD.因为EF∥AC,FG∥BD.所以EF⊥FG.EFGH为有直角的平行四边形,因此是矩形
若ABCD为正方形,则AC⊥BD,且AC=BD.因此EF⊥FG,且EF=FG=GH=EH.因此EFGH为正方形
（3）连接四边中点所得到的四边形,两组对边平行且等于原四边形两条对角线的1/2
因此形状与原四边形对角线有关.
当原四边形对角线互相垂直,则得到的四边形是矩形；当原四边形对角线相等,则得到的四边形是菱形；当原四边形对角线垂直且相等,则得到的四边形是正方形