题目

设A为n阶方阵,证明：（1）若A^2=A,则r(A)+r(A-E)=n (2)若A^2=E,则r(A+E)+r(A-E)=n

提问时间：2021-01-09

答案

这里边用到两个结论：r(A+B)<=r(A)+r(B)对任意的n阶方阵A,B成立.
若AB=0,则r(A)+r(B)<=n,其中A,B是n阶方阵.
第一个不等式在任何线代数上都有.第二个一般的也有,你也可以自己证明.
1、A(A-E)=0,于是n>=r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)>=r(A+E-A)=r(E)=n.
中间等号必须成立,因此r(A)+r(A-E)=n.
2、(A+E)(A-E)=0,因此n>=r(A+E)+r(A-E)=r(A+E)+r(E-A)>=r(A+E+E-A)=r(2E)=n,
中间等号必须成立,故r(A+E)+r(A-E)=n.