题目

已知平面上两点M（4.0）N（1.0）动点P满足PM=2PN （1）求动点P的轨迹C 的方程 （2）若点Q（a,0）是轨迹C内一点,过Q任作直线L交轨迹C于AB两点,使证：向量QA乘向量QB的值只与a有关；令F(a)=向量QA乘向量QB,求F(a)的取值范围.

提问时间：2021-01-08

答案

（1）设点p坐标（x,y）,则向量pm+（4-x,-y）,向量pn+（1-x,-y),向量pm绝对值等于根号下（4-x）²+y²,由向量pm的绝对值等于2向量pn的绝对值得根号下（4-x)²+y²=2根号下（1-x²）+y²,整理得x的平方加y的平方等于四,它的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆.
（2）K存在,则直线方程为y=k(x-a),代入x²+y²=4,
整理得（1+k²）x²-2ak²x+（k²a²-4）=0,设A（x1,y1）,B（x2,y2）,得x1+x2=2ak²比1+k².
x1x2=a²k²-4比1+k²向量QA乘向量QB=（x1-a,y1）乘（x2-a,y2）=k²【x1x2-a（x1+x2）】所以QA乘QB=a²-4,与k无关,与a有关,所以f（a）=a²-4,又因为点Q（a,0）是轨迹内一点,所以-2小于a小于2,0小于a²小于4,-4小于a²-4小于0,即f（a）=a²-4的取值范围是（-4,0）