题目

如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG²+FH²=______．

提问时间：2021-01-08

答案

如右图，连接EF，FG，GH，EH，
∵E、H分别是AB、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH=

1

2

BD=3，
同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线，
∴EF=GH=

1

2

AC=3，FG=

1

2

BD=3，
∴EH=EF=GH=FG=3，
∴四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥HF，且垂足为O，
∴EG=2OE，FH=2OH，
在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE²+OH²=EH²=9，
等式两边同时乘以4得：4OE²+4OH²=9×4=36，
∴（2OE）²+（2OH）²=36，
即EG²+FH²=36．
故答案为：36．