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题目
如图,同心⊙O,大⊙O的直径AB=2
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,小⊙O的直径CD=2,连接AC、AD、BD、BC,AD、CB分别交小⊙O于E、F.

(1)问四边形CEDF是何种特殊四边形?请证明你的结论;
(2)当AC与小⊙O相切时,四边形CEDF是正方形吗?请说明理由.

提问时间:2021-01-08

答案
(1)四边形CEDF是矩形.
证明:∵CD是小⊙O的直径,
∴∠CFD=∠CED=90°,
又∵AB、CD分别是大⊙O、小⊙O的直径,
∴OC=OD,OA=OB,
∴四边形ADBC是平行四边形,
∴CB∥AD,
∴∠CFD+∠EDF=180°,
∴∠EDF=90°,
∴四边形CEDF是矩形.
答:四边形CEDF是矩形.
(2)四边形CEDF是正方形.
理由:∵AC是小⊙O的切线,CD是直径,
∴∠ACD=90°,
在Rt△ACO中,OA=
5
,OC=1,AC2+12=5,
∴AC=2,
则CD=AC=2,∠CDE=45°,
∴DE=CE,
∴矩形CEDF是正方形.
答:当AC与小⊙O相切时,四边形CEDF是正方形.
(1)四边形CEDF是矩形,理由是由CD是小⊙O的直径,得出∠CFD=∠CED=90°,证出平行四边形ADBC,得出CB∥AD,根据平行线的性质得出∠EDF=90°,即可判断出答案;
(2)在Rt△ACO中,OA=
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,OC=1,根据勾股定理求出AC,推出CD=AC=2,∠CDE=45°,进一步推出DE=CE,即可推出答案.

切线的性质;平行线的性质;勾股定理;平行四边形的判定与性质;矩形的判定;正方形的判定.

本题主要考查对勾股定理,平行四边形的性质和判定,矩形的判定,正方形的判定,切线的性质,平行线的性质等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理是证此题的关键,题型较好,难度适中.

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