题目

若函数y=f（x）在R上可导且满足不等式xf′（x）＞-f（x）恒成立，且常数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A. af（b）＞bf（a）
B. af（a）＞bf（b）
C. af（a）＜bf（b）
D. af（b）＜bf（a）

提问时间：2021-01-08

答案

设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＞0，
∴函数g（x）在R上是增函数，
∵常数a，b满足a＞b，
则有af（a）＞bf（b），
故选B．

由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数g（x）的单调性得到结合常数a，b满足a＞b即可得出正确选项．

本题考点：函数的单调性与导数的关系．

考点点评：本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断．